03-轴对称

1.轴对称及其性质

知识点1：轴对称图形与轴对称的有关概念

	轴对称图形	轴对称
概念	如果一个平面图形，沿一条直线折叠指向两旁的部分，能够互相重合。这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。	把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点，叫对称点。
图形
区别	确定对象：一个具有特殊形状的图形； 对称点：轴对称图形的对称点在一个图形上 对称轴：对称轴是过图形的某条直线，不一定只有一条	确定对象：两个具有对称关系的图形; 对称点：成轴对称的两个图形的对称点，分别在两个图形上 对称轴：对称轴在两个图形之间，并且只有一条
联系	(1)都能沿某条直线翻折后互相重合; (2)若把成轴对称的两个图形看作一个整体,那么它就是一个轴对称图形,若把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两部分可看成关于这条直线成轴对称
注意	(1)轴对称图形至少有一条对称轴,对称轴可能有一条(如等腰直角三角形),两条(如长方形)，三条(如等边三角形),四条(如正方形)…·无数条(如圆).成轴对称的两个 图形只有一条对称轴. (2)对称轴是一条直线,不是线段、射线． (3)轴对称反映两 个图形之间的形状、大小和位置关系,而轴对称图形反映了一个图形的特性

知识点2：轴对称与轴对称图形的性质

1. 成轴对称的两个图形全等，即对应线段相等，对应角相等。轴对称图形被对称轴分成的两部分全等，即对折后重合的线段相等，对折后重合的角相等。
2. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

2.线段的垂直平分线

知识点1：线段垂直平分线的性质

1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

知识点2：线段垂直平分线的判定

判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

知识点3：作线段的垂直平分线

用尺规作线段的垂直平分线：

简记	图示	作法
两弧		分别以线段AB两端点为圆心，两弧大于1/2AB的长为半径作弧，两弧交于M、N两点
直线		过两弧的交点M、N作直线MN，该直线就是线段AB的垂直平分线
线段的平分线是直线，而不是射线或线段。

知识点4：画对称轴

轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的画法，步骤如下：

1. 找出轴对称图形或成轴对称的两个终形的任意一对对应点;
2. 连接对应点;
3. 画出对应点所连线段的垂直平分线。

这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴。

3.画轴对称图形

知识点1：画轴对称图形

（1）关于某直线成轴对称的两个图形之间的关系

• 由一个平面图形可以得到与它关于一条直线对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同。
• 新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点。
• 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。

（2）画轴对称图形的方法

由直线、线段或射线组成的图形，作出图形中一些特殊点（能确定图形的点）的对称点，连接这些对称点，就能得到原图形的轴对称图形。

画轴对称图形的方法简单归纳如下：

1. 找——在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点等）；
2. 作——作各个特殊点关于已知直线的对称点；
3. 连——按原图对应连接各对称点。

知识点2：坐标平面内的轴对称

4.等腰三角形

知识点1：等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，剩余的一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

知识点2：等边对等角

等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。

知识点3：等腰三角形“三线合一”

1.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”。

其具体用法是：在等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高，只要知道其中一个结论，就可以得出其他两个结论。

2.等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线。

知识点4：等腰三角形的判定

• 判定方法1：根据定义判定，即有两边相等的三角形是等腰三角形。
• 判定方法2：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”，这是证明同一个三角形中两线段相等的重要方法)。

5.等边三角形

知识点1：等边三角形的性质

定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

性质： (1)等边三角形的三条边相等。 (2)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个内角都等于 60°。 (3)等边三角形是轴对称图形,它有3条对称轴。

知识点2：等边三角形的判定

• 判定方法1：三条边都相等的三角形是等边三角形。
• 判定方法2：三个角都相等的三角形是等边三角形。
• 判定方法3：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

6.最短路径问题

知识点1：最短路径问题

(1)求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置。

如上所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找到一个点C，使 CA+CB最小，这时点C是直线l与AB的交点，依据是两点之间线段最短。

(2)求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置。

如上图所示，点A,B分别是直线l同侧的两个点，在l上找到一个点P, 使PA+PB最小。这时先作点B关于直线l的对称点B’，则点P是直线l与AB的交点，也是位置符合要求的那个点。

知识点2：造桥选址问题

解决“造桥选址”问题，一般用平移的方法，利用平移前后的对应线段相等，把未知的线段转换到一条直线上，再结合“两点之间，线段最短”解决问题。

如图，在互相平行的直线 $l$、$l_1$ 上找一条垂直于 $l$、$l_1$ 的线段 $MN$，使 $AM+MN+NB$ 的长度之和最小。

解题思路：

💡过点 $A$ 作 $AA' \perp l$，且 $AA'$ 的长度等于两平行线间的距离。连接 $A'B$，与 $l$ 交于点 $N$，再过点 $N$ 作 $MN \perp l$ 于点 $M$。根据“两点之间线段最短”，可得 $AM+MN+NB$ 的最小值为 $MN + A'B$，其中 $MN$ 即为两平行线间的距离。

7.扩展知识点

模型1：将军饮马-“两点一线”模型

同侧两点求线段之和的最小值

• 条件：已知定点 $A, B$ 在直线 $l$ 的同侧，在直线 $l$ 上找一点 $P$，使 $PA+PB$ 的值最小。
• 作法：作点 $B$ 关于直线 $l$ 的对称点 $B'$，连接 $AB'$，$AB'$ 与直线 $l$ 的交点即为所求的点 $P$。（也可作点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A'$）
• 结论：$PA+PB$ 的最小值为线段 $AB'$ 的长。

异侧两点求线段之差的最大值

• 条件：已知定点 $A, B$ 在直线 $l$ 的异侧，在直线 $l$ 上找一点 $P$，使 $|PA-PB|$ 的值最大。
• 作法：作点 $B$ 关于直线 $l$ 的对称点 $B'$，连接 $AB'$ 并延长，与直线 $l$ 交于点 $P$。
• 结论：$|PA-PB|$ 的最大值为线段 $AB'$ 的长。

模型2：将军饮马-“一点两线”模型

• 条件：$P$ 为 $\angle AOB$ 内一点（一定点），在射线 $OA$、$OB$ 上（两定线）分别找点 $M$、$N$，使 $\triangle PMN$ 的周长最小（两定线上的两个动点与定点构成的三角形的周长最小）。
• 作法：分别作点 $P$ 关于射线 $OA$、$OB$ 的对称点 $P_1$、$P_2$，连接 $P_1P_2$，$P_1P_2$ 与两条射线的交点即为所求点 $M$、$N$。
• 结论：$\triangle PMN$ 的周长最小值为线段 $P_1P_2$ 的长。

证明： 由轴对称的性质可得， $PM = P_1M$，$PN = P_2N$，
$\therefore \triangle PMN$ 的周长 $= PM + PN + MN = P_1M + P_2N + MN \geqslant P_1P_2$。 ∴ 当 $P_1$，$M$，$N$，$P_2$ 四点共线时，$PM + MN + PN$ 的值最小，最小值为线段 $P_1P_2$ 的长。

模型3：将军饮马-“三动点”模型

• 条件：已知点 $D$、$E$、$F$ 分别为 $AB$、$AC$、$BC$ 上的动点。
• 作法：先将点 $D$ 视为定点，利用“一点两线”模型作出 $\triangle DEF$ 周长的最小值（对应的线段为 $D'D''$）。
• 结论：当 $CD$ 最小，即 $CD \perp AB$ 时，$\triangle DEF$ 的周长最小，最小值为线段 $D'D''$ 的长。

证明： 如图，分别作点 $D$ 关于 $AC$、$BC$ 的对称点 $D'$、$D''$，连接 $D'D''$，分别交 $AC$、$BC$ 于点 $E$、$F$。由轴对称的性质知 $DE = D'E$，$DF = D''F$，

$\therefore DE + EF + DF = D'E + EF + D''F \geqslant D'D''$, ∴ 当 $D'$、$E$、$F$、$D''$ 四点共线时，$\triangle DEF$ 的周长最小，最小值为线段 $D'D''$ 的长。 $\because \angle D'CD''$ 大小不变为 $2\angle ACB$，$CD' = CD'' = CD$， ∴ 当线段 $CD$ 的值最小，即当 $CD \perp AB$ 时，线段 $D'D''$ 的值最小，此时 $\triangle DEF$ 的周长最小。

模型4：将军饮马-“两点两线”模型

条件：点 $P$、$Q$ 是 $\angle AOB$ 内部的定点，在 $OA$ 上有一点 $M$（两定点P、Q在两定线内），在 $OB$ 上有一点 $N$（两定线OA，OB），使得四边形 $PQNM$ 的周长最小。 作法：分别作点 $P$、$Q$ 关于 $OA$、$OB$ 的对称点 $P'$、$Q'$，连接 $P'Q'$，$P'Q'$ 分别交 $OA$、$OB$ 于点 $M$、$N$。 结论：四边形 $PQNM$ 的周长最小，最小值为 $P'Q' + PQ$ 的长。

证明： 由对称性质可知 $PM = P'M$，$QN = Q'N$， $\therefore PM + MN + NQ = P'M + MN + NQ' \geqslant P'Q'$， $\therefore$ 当 $P'$，$M$，$N$，$Q'$ 共线时，$P'M + MN + NQ'$ 的值最小，为 $P'Q'$ 的长。 $\because P$，$Q$ 为定点，$\therefore PQ$ 的长度为定值。 $\therefore$ 当四边形 $PQNM$ 的周长最小时，最小值为 $P'Q' + PQ$ 的值。

8.附录：专项练习题

题1：将军饮马应用-两点一线

如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$AC$ 的垂直平分线交 $AC$ 于点 $F$，交 $AB$ 于点 $E$，连接 $EC$，$AB = 10$，$\triangle BEC$ 的周长是 18，若点 $P$ 在直线 $EF$ 上，连接 $PA$，$PB$，则 $|PA - PB|$ 的最大值为 _______。

【解答】

分析题干，找出题目中的关键信息： 延长CB交直线EF于点P’，连接AP’（由垂直平分线性质，$AP' = CP'$ 💡）。 ①两定点 $(A, B)$ ;
②一定线（直线EF）；
③异侧（两定点A，B在一条定直线EF的异侧）。

根据题目中给出的条件，构造出将军饮马“两点一线”模型，由模型结论可得 $|PA-PB|$ 的最大值为BC的长。

$\because$ EF 垂直平分 AC，
$\therefore$ $AE = CE$. 又 $\because$ $\triangle BEC$ 的周长是 18，
即 $BE + BC + CE = 18$，
又 $\because$ $AB = BE + AE = 10$，
$\therefore$ $BC = 18 - 10 = 8$. $\therefore$ $|PA - PB|$ 的最大值为 8

题2：将军饮马应用-一点两线

如图，在四边形 $ABCD$ 中，$\angle BAD = 130^{\circ}$，$\angle B = \angle D = 90^{\circ}$，点 $E$、$F$ 分别是线段 $BC$、$DC$ 上的动点。当 $\triangle AEF$ 的周长最小时，$\angle EAF$ 的度数为（　）

A. $90^{\circ}$　　B. $80^{\circ}$　　C. $70^{\circ}$　　D. $60^{\circ}$

【解答】

分析题干，找出题目中的关键信息： ① 一定点（一固定点A在两线CB，CD之间）；
② 两定线（夹定点A的两条不变的线CB，CD）；
③ 周长最小（两定线上的两个动点E，F与定点A构成的三角形EAF的周长最小）。

根据题目给定的条件，可以构造出将军饮马“一点两线”模型。分别作点A关于BC和CD的对称点 $A'$ ，$A''$ ，连接 $A'A''$ ，交BC于点E，交CD于点F。由模型结论可得 $A'A''$ 即为 $\triangle AEF$ 的周长最小值。

作 $DA$ 的延长线 $AH$，
$\because \angle BAD = 130^{\circ}$，
$\therefore \angle HAA' = 50^{\circ}$，
$\therefore \angle AA'E + \angle A'' = \angle HAA' = 50^{\circ}$。 $\because \angle EA'A = \angle EAA', \quad \angle FAD = \angle A'', \quad \therefore \angle EAA' + \angle A''AF = 50^{\circ}$, $\therefore \angle EAF = 130^{\circ} - 50^{\circ} = 80^{\circ}$，故选 B.

题3：将军饮马应用-三动点

如图，已知 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，$AB = 3$，$BC = 4$，$AC = 5$，$D$，$E$，$F$ 分别是边 $AB$，$BC$，$AC$ 上的动点，则 $DE + EF + FD$ 的最小值为 $\_\_\_\_$。

【解答】 分析题干，找出题目中的关键信息：

• ① 三动点（三定线 $AB$，$BC$，$CA$ 上的三动点 $D$，$E$，$F$）；
• ② 周长最小（$DE + EF + FD$ 的最小值）。 根据题目给定的条件，作点 $F$ 关于直线 $AB$ 的对称点 $M$，作点 $F$ 关于直线 $BC$ 的对称点 $N$，连接 $BM$，$BN$，$BF$，$EF$，$DF$，$EN$，$DE$，$DM$，从而构造出将军饮马“三动点”模型。由模型结论可得 $DE + EF + FD$ 的最小值为 $MN$ 的长。

根据统一要求，将行内公式统一使用单$，行间公式统一使用双$$，并修正公式中的空格和格式问题。优化后的内容如下：

题4：将军饮马应用-两点两线

在长方形 $ABCD$ 中，$AB=3$，$AD=6$，$AE=4$，$AF=2$，$G$，$H$ 分别是边 $BC$，$CD$ 上的动点，请在图中画出使四边形 $EFGH$ 周长最小的点 $G$，$H$，最小值是 $\_\_\_\_+\_\_\_\_$。（不计算，填写线段名）

【解答】 分析题干，找出题目中的关键信息： ①两定点（夹在两定线 $CB, CD$ 间的两点 $E, F$ ）； ②两定线（两动点G，H所在的两线CB，CD）； ③周长最小（由两定点E，F和两动点G，H构成的四边形EFGH的周长最小）.

根据题目中给出的条件，可以构造出将军饮马“两点两线”模型。要使四边形 $EFGH$ 周长最小，$E$、$F$ 为两定线间的定点，作点 $F$ 关于 $BC$ 的对称点 $F'$，作点 $E$ 关于 $CD$ 的对称点 $E'$，连接 $E'F'$ 交 $BC$ 于点 $G$，交 $CD$ 于点 $H$，连接 $EH$、$FG$。由模型结论可得此时四边形 $EFGH$ 的周长最小，最小值为线段 $E'F'$ 和线段 $EF$ 的和。

点 $G$，$H$ 的位置如图所示。由模型结论可得，四边形 $EFGH$ 周长的最小值是 $E'F' + EF$。