06-二次根式

1.二次根式

知识点1：二次根式的概念

一般地，我们把形如 $\sqrt{a}$（$a \geq 0$）的式子叫做二次根式，“$\sqrt{\phantom{a}}$”称为二次根号。

温馨提示

• 二次根号“$\sqrt{\phantom{a}}$”的根指数是 2，二次根号下的 $a$ 叫被开方数。被开方数可以是数字，也可以是整式、分式等。
• 式子 $\sqrt{a}$ 只有在条件 $a \geq 0$ 时才叫二次根式，即 $a \geq 0$ 是 $\sqrt{a}$ 为二次根式的前提条件。例如 $\sqrt{-2}$ 不是二次根式，但 $\sqrt{(-2)^2}$ 是二次根式。
• $\sqrt{a}$（$a \geq 0$）实际上就是非负数 $a$ 的算术平方根，既可表示开方运算，也可表示运算的结果。
• $\sqrt{4}$ 是二次根式，虽然 $\sqrt{4}=2$，但 2 不是二次根式。因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”。

知识点2：二次根式有意义的条件

因为负数没有平方根，所以使二次根式 $\sqrt{a}$ 有意义的条件是被开方数（式）$a \geq 0$。

温馨提示

• 由于 $\sqrt{a}$ 表示的是 $a$ 的算术平方根，所以 $a \geq 0$。
• 二次根式有意义，只与被开方数 $a$ 有关，与根式前面的系数无关。
• 确定二次根式有意义的方法就是使被开方数是非负数；如果有分母，应同时使被开方数的分母不为零。

知识点3：二次根式的非负性

1. $\sqrt{a}$（$a \geq 0$）是一个非负数。
   $\sqrt{a}$（$a \geq 0$）既是二次根式，又是非负数 $a$ 的算术平方根，所以它一定是非负数，即 $\sqrt{a} \geq 0$（$a \geq 0$），我们把这个性质叫做二次根式的非负性。
2. $\sqrt{a}$（$a \geq 0$）、$|a|$、$a^2$ 是三个重要的非负数，即
   $\sqrt{a} \geq 0$（$a \geq 0$），$|a| \geq 0$，$a^2 \geq 0$。

温馨提示

• 在实数范围内，式子 $\sqrt{a}$（$a \geq 0$）表示非负数 $a$ 的算术平方根，它具有双重非负性：
  ① $\sqrt{a} \geq 0$；② $a \geq 0$。
• 到目前为止，我们已经学过三类具有非负性的代数式：
  ① $|a| \geq 0$；② $a^2 \geq 0$；③ $\sqrt{a} \geq 0$（$a \geq 0$）。
  运用这些非负性，再结合“若几个非负数的和等于 0，则这几个非负数都等于 0”的性质，可以解决一些问题。

2.二次根式的性质

知识点1：二次根式的性质

1.$(\sqrt{a})^2 = a$（$a \geq 0$）

由于 $\sqrt{a}$（$a \geq 0$）是一个非负数，表示非负数 $a$ 的算术平方根，因此通过算术平方根的定义，非负数 $a$ 的算术平方根的平方就等于它本身，即

2.$\sqrt{a^2} = |a|$

由算术平方根的定义，可得

$\sqrt{a^2} = a$（$a \geq 0$）表示非负数 $a$ 的平方的算术平方根等于它本身。

3.$(\sqrt{a})^2$ 与 $\sqrt{a^2}$ 的区别和联系

区别

1. 表示的意义不同：$(\sqrt{a})^2$ 表示非负实数 $a$ 的算术平方根的平方；$\sqrt{a^2}$ 表示实数 $a$ 的平方的算术平方根。
2. 运算的顺序不同：$(\sqrt{a})^2$ 是先求非负实数 $a$ 的算术平方根，然后再进行平方运算；而 $\sqrt{a^2}$ 是先求实数 $a$ 的平方，再求算术平方根。
3. 取值范围不同：在 $(\sqrt{a})^2$ 中，$a$ 只能取非负实数，即 $a \geq 0$；而在 $\sqrt{a^2}$ 中，$a$ 可以取一切实数。
4. 写法不同：在 $(\sqrt{a})^2$ 中，幂指数 2 在根号的外面；而在 $\sqrt{a^2}$ 中，幂指数 2 在根号的里面。
5. 结果不同：$(\sqrt{a})^2 = a$（$a \geq 0$），而
   $$\sqrt{a^2} = \begin{cases} a, & a > 0 \\ 0, & a = 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases}$$

联系

1. 在运算时，都有平方和开平方的运算。
2. 两式运算的结果都是非负数，即 $(\sqrt{a})^2 \geq 0$，$\sqrt{a^2} \geq 0$。
3. 仅当 $a \geq 0$ 时，有 $(\sqrt{a})^2 = \sqrt{a^2}$。

温馨提示

• $(\sqrt{a})^2 = a$ 的前提条件是 $a \geq 0$；而 $\sqrt{a^2} = |a|$ 中的 $a$ 为一切实数。
• $\sqrt{a^2} = (\sqrt{a})^2$ 成立的条件是 $a \geq 0$，否则不成立。
• $(\sqrt{a})^2 = a$（$a \geq 0$）可以逆用，即任意一个非负数都可以写成它的算术平方根的平方形式。如 $5 = (\sqrt{5})^2$。
• 在利用 $\sqrt{a^2}$ 进行化简时，要先求出 $|a|$，再根据绝对值的性质进行化简。一定要弄清被开方数的底数是正还是负，这是容易出错的地方。不要出现如 $\sqrt{(-2)^2} = -2$ 的错误。

知识点2：代数式的概念

如 $5$、$a$、$a+b$、$-ab$、$\dfrac{a}{b}$、$-x$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{a}$（$a \geq 0$）等，它们都是用基本运算符号（基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。

温馨提示

• 代数式可以表示数量、数量关系、式子的规律以及运算律等，特别注意单独的一个数或者一个字母也是代数式。
• 好的，以下是代数式的一些例子：
  • $5$（单独一个数）
  • $x$（单独一个字母）
  • $a + b$（用加号连接）
  • $-ab$（用乘号连接）
  • $\dfrac{a}{b}$（用除号连接，$b \neq 0$）
  • $\sqrt{3}$（含开方运算）
  • $\sqrt{a}$（$a \geq 0$）
  • $2x - 1$
  • $a^2 + b^2$

需要区分的是：含有等号或不等号的式子，如 $x + 1 = 2$、$x > 3$，它们不是代数式，而是等式或不等式。

3.二次根式的乘法

知识点1：二次根式的乘法法则

一般地，二次根式的乘法法则是：

即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。

温馨提示

• 观察式子 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a \geq 0, b \geq 0$）的左边和右边，等号左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式。由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数。
• 对于二次根式乘法的法则，应注意以下几点：
  1. 要满足 $a \geq 0$，$b \geq 0$ 的条件，因为只有 $a$、$b$ 都是非负数，公式才能成立；
  2. 从运算顺序看，等号左边是先分别求 $a$、$b$ 两数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积；等号右边是将非负数 $a$、$b$ 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根；
  3. 根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内。

知识点2：乘法法则的推广

1. $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} = \sqrt{abc}$（$a \geq 0, b \geq 0, c \geq 0$）；
2. $a\sqrt{b} \cdot c\sqrt{d} = ac\sqrt{bd}$（$b \geq 0, d \geq 0$），即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数🌟；
3. 乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可以应用。

4.二次根式的除法

知识点1：二次根式的除法法则

一般地，二次根式的除法法则是：

即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。

温馨提示

• 在二次根式的除法中，条件 $a \geq 0$，$b > 0$ 与二次根式乘法的条件 $a \geq 0$，$b \geq 0$ 是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立。
• 二次根式的除法法则中的 $a$、$b$ 既可以代表数，也可以代表式子。
• $m\sqrt{a} \div n\sqrt{b} = \dfrac{m}{n}\sqrt{\dfrac{a}{b}}$（$a \geq 0, b > 0, n \neq 0$），即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除。

知识点2：商的算术平方根的性质

即：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

温馨提示

• 商的算术平方根的性质的限制条件与积的算术平方根的性质类似，但也有区别：因为分母不能为零，所以被除式 $a$ 必须是非负的，除式 $b$ 必须是正的，否则性质不成立。
• 当被开方数是带分数时，应先将带分数化成假分数。

知识点3：最简二次根式

满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：

1. 被开方数不含分母；
2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

示例：

1.是最简二次根式

• $\sqrt{2}$
• $\sqrt{3}$
• $\sqrt{5}$
• $\sqrt{a}$（$a \geq 0$，且 $a$ 不含能开得尽方的因数）
• $\sqrt{ab}$（$a$、$b$ 均为正整数，且都不含能开得尽方的因数）

2.不是最简二次根式

化简示例

1. $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$
2. $\sqrt{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
3. $\sqrt{50a^2b} = \sqrt{25a^2 \cdot 2b} = 5a\sqrt{2b}$（$a \geq 0, b \geq 0$）

简单来说：被开方数中既没有分母，也没有能开得尽方的因数或因式，就是最简二次根式。

温馨提示

• 被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式。

• 被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数 2，即每个因数或因式的指数都是 1。

• 化二次根式为最简二次根式的方法：

  1. 如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式；
  2. 如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来。

• 化去分母中的根号的依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得到整式。

• 在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式。

知识点4：二次根式的乘除混合运算

二次根式的乘除混合运算是指二次根式的乘、除、乘方、开方等运算。

温馨提示

• 二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的。
• 整式乘除中的公式、法则（如平方差公式、完全平方公式等）在二次根式混合运算中仍然适用。
• 整式乘法的运算律（交换律、结合律、分配律）在二次根式运算中仍然适用。

例1：$\sqrt{2} \times \sqrt{8} \div \sqrt{4}$

按从左到右的顺序计算：

所以，$\sqrt{2} \times \sqrt{8} \div \sqrt{4} = 2$。

例4：$2\sqrt{3} \times 3\sqrt{2} \div \sqrt{6}$

先算乘法（系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘）：

再算除法：

所以，$2\sqrt{3} \times 3\sqrt{2} \div \sqrt{6} = 6$。

5.二次根式的加减

知识点1：二次根式的加减运算

二次根式合并时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

温馨提示

• 在合并被开方数相同的二次根式时，只需要把二次根式的系数相加减，根指数和被开方数不变。
• 合并被开方数相同的二次根式的理论依据是逆用乘法分配律。

例如：$2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = (2+5)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$；$\sqrt{8} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$（先将 $\sqrt{8}$ 化为最简二次根式再合并）。

知识点2：二次根式的混合运算

二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方等运算。

温馨提示

• 二次根式的混合运算顺序：

  • 先乘方、开方，再乘除，最后加减；
  • 有括号时要先算括号里面的。

• 在二次根式的运算中，整式运算中的运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律以及分配律）同样适用。

• 在二次根式的运算中，多项式乘法法则与乘法公式仍然适用。常用的公式有：

  • 平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$；
  • 完全平方公式：$(a \pm b)^2=a^2 \pm 2ab+b^2$。

• 在二次根式的运算过程中一定要注意符号的变化，运算结果一定要化为最简形式。

例题

例 1：计算 $\sqrt{8}+\sqrt{18}-\sqrt{32}$。

先化简：

原式：

例 2：计算 $\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{6})-\sqrt{24}$。

先用分配律展开：

因为 $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，所以：

例 3：计算 $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$。

利用平方差公式：

例 4：计算 $(\sqrt{5}-2)^2$。

利用完全平方公式：

例 5：计算 $\sqrt{12}\times\sqrt{3}-\sqrt{27}\div\sqrt{3}$。

先算乘除：

原式：