10-浮力

1.浮力

知识点1：浮力🌟

1. 浮力：浸在液体（或气体）中的物体受到向上的力。

   • 施力物体：液体
   • 方向：竖直向上

2. 浮力产生的原因：浸在液体中的物体，其上、下表面受到液体对它的压力不同。下表面受到的压力大于上表面受到的压力，两个力的合力向上，就形成了浮力。

   • 公式：$F_{\text{浮}} = F_{\text{向上}} - F_{\text{向下}}$

【注意】 （1）“浸入”包括部分浸入和全部浸入两种情况🌟，也就是说，浸在液体内部和浮在液体表面的物体都受到浮力作用。 （2）浸在气体中的物体也受到向上的浮力。

【引申思考】🌟

🔴情况1：前图所示为悬浮状态，所谓悬浮状态就是：物体完全全部浸没在液体内部，不碰容器底、也不往上浮，停在液体任意深度不动。这种情况下压力差：

这就是阿基米德原理。

思考下：

• 此时浮力和物理重力的关系？对， $F_{\text{浮}} = G_{\text{物}}$
• 那物体密度和水的密度关系呢？ $\boldsymbol{\rho_{\text{物}} = \rho_{\text{液}}}$

🔴情况2：沉底状态，物体紧贴容器底部静止（底面没有水）。

• 下表面没有液体向上的压力：$F_{\text{向上}} = 0$
• 因此浮力为零：$F_{\text{浮}} = 0$，物体不受浮力。
• 示例：桥墩牢牢扎在水底泥土里，下表面没有液体接触，故不受浮力。还有吸盘牢牢吸在缸底。

思考下：

• 此时浮力和物理重力的关系？对， $F_{\text{浮}} < G_{\text{物}}$
• 那物体密度和水的密度关系呢？ $\boldsymbol{\rho_{\text{物}} > \rho_{\text{液}}}$

🔴情况3：漂浮状态，漂浮在水面上的物体（即物体一部分露出水面、一部分浸在液体里）

• 上表面露出水面：没有水往下压，$F_{\text{向下}} = 0$
• 此时浮力就等于下表面向上的液体压力：$F_{\text{浮}} = F_{\text{向上}}$
• 示例：木块漂在水面、轮船

思考下：

• 此时浮力和物理重力的关系？对， $F_{\text{浮}} = G_{\text{物}}$
• 那物体密度和水的密度关系呢？ $\boldsymbol{\rho_{\text{物}} < \rho_{\text{液}}}$

知识点2：决定浮力大小的因素

1. 根据力的平衡条件测量浮力：

   • （1）用弹簧测力计测出物体的重力 $G$；
   • （2）将挂在弹簧测力计下方的物体浸在液体中，读出弹簧测力计的示数 $F_{\text{示}}$；
   • （3）物体在液体中所受的浮力 $F_{\text{浮}} = G - F_{\text{示}}$。

2. 影响浮力大小的因素：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关，跟液体的密度有关。物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大。🌟

2.阿基米德原理

知识点1：浮力的大小=排开液体所受重力

1. 内容：浸在液体中的物体受到向上的浮力，浮力的大小等于它排开液体所受的重力。
2. 公式：$F_{\text{浮}} = G_{\text{排}} = \rho_{\text{液}} g V_{\text{排}}$
3. 对阿基米德原理的理解
   • （1）已知排开液体的质量时，可用 $F_{\text{浮}} = G_{\text{排}} = m_{\text{排}} g$ 计算浮力 （$m_{\text{排}}$ = 排开液体的质量）； 已知排开液体的体积时，可用 $F_{\text{浮}} = \rho_{\text{液}} g V_{\text{排}}$ 计算浮力。
   • （2）适用条件：液体或气体。
   • （3）变形式还可用来计算排开液体的体积和液体的密度❓。

知识点2：阿基米德原理公式变形汇总

原始核心公式：
$\boldsymbol{F_{\text{浮}} = \rho_{\text{液}} g V_{\text{排}}}$

一共可变形为三个公式，分别求解三个未知量：

1. 求排开液体体积 $\boldsymbol{V_{\text{排}}}$
   

   $$V_{\text{排}} = \frac{F_{\text{浮}}}{\rho_{\text{液}} g}$$

   
   用处：知道浮力和液体密度，算出物体浸入液体部分的体积。

2. 求液体密度 $\boldsymbol{\rho_{\text{液}}}$
   

   $$\rho_{\text{液}} = \frac{F_{\text{浮}}}{g V_{\text{排}}}$$

   
   用处：已知浮力和排开体积，测算液体密度（如盐水密度）。

3. 由 $F_{\text{浮}} = G_{\text{排}} = m_{\text{排}} g$ 推导的两个变形：

   • 求排开液体的质量：$\boldsymbol{m_{\text{排}} = \dfrac{F_{\text{浮}}}{g}}$

   • 求排开液体的重力：$\boldsymbol{G_{\text{排}} = F_{\text{浮}}}$

3.物体的浮沉条件及应用

知识点1：物体的浮沉条件

知识点2：浮力的应用

1. 增大或减小浮力的方法 🌟 由阿基米德原理 $F_{\text{浮}} = \rho_{\text{液}} g V_{\text{排}}$ 可知，要增大（或减小）物体所受的浮力，可以增大（或减小）液体的密度、增大（或减小）物体排开液体的体积。

2. 浮力的应用

   • （1）轮船：采用空心的做法；
   • （2）潜水艇：改变自身重力来实现浮沉；
   • （3）热气球：利用密度小的气体；
   • （4）密度计：利用漂浮条件测液体密度。

4.扩展：常见考点

考点1：漂浮、悬浮模型

几种常见浮力的受力分析

考点2：注液、排液模型

在液体中注入液体的过程分析（排出液体按照逆过程进行分析）

考点3：出液、入液模型

物体浸入液体的过程分析（出液体按逆过程分析）

5.附录：专项练习题

题1：漂浮悬浮模型

小明在探究沉与浮的条件时，用一根细线连接 A、B 两个物体，放在盛水的烧杯中，处于悬浮状态，如图甲所示。剪断细线后，A 物体处于漂浮状态，B 物体沉到烧杯底部，如图乙所示。设甲、乙两图烧杯对桌面的压强分别为 $p_1$、$p_2$，水对烧杯底部的压强变化为 $\Delta p$，甲图中细线的拉力为 $F$，乙图中 B 物体对烧杯底部的压强为 $p_B$。已知 B 物体的重力为 $G$，体积为 $V$，烧杯的底面积为 $S$，水的密度为 $\rho$。以下关系式正确的有（ ）

A. $p_1 > p_2$ B. $F = G - \rho gV$

C. $\Delta p = \frac{G - \rho g V}{S}$

D. $p_B = \frac{G - \rho g V}{S}$

【解答】

选项 A： $p_1 > p_2$ （错误❌）

• 分析依据：水平桌面上，容器对桌面的压力等于容器内部所有物体的总重力（水 + A + B + 烧杯自重）。
• 剪断细线前后：总重力没有增减，因此烧杯对桌面的压力 $F_{\text{压总}}$ 相等。
• 烧杯底面积 $S$ 不变，根据 $p = \dfrac{F}{S}$ 可得： $p_1 = p_2$
• 结论：选项 A 错误。

选项 B： $F = G - \rho g V$ （正确✅）

单独对物体 B 做受力分析（甲图：细线未剪断，整体悬浮，B 静止）

B 受到三个力，受力平衡：

• 竖直向下：自身重力 $G$ （题干中给出了）
• 竖直向上（两个力）：
  1. 水给 B 的浮力 $F_{\text{浮}B}$：B 完全浸没，$V_{\text{排}} = V$，$F_{\text{浮}B} = \rho g V$
  2. 细线向上的拉力 $F$（A 往上拉 B）

平衡方程：

移项变形：

结论：完全符合 B 选项的式子，故选项 B 正确。

选项 C：$\Delta p = \dfrac{G - \rho g V}{S}$ ( 正确✅)

1. 剪断细线前（甲图）：A、B 整体悬浮，总浮力等于总重力：
   

   $$F_{\text{浮总}} = G_A + G_B = G_A + G$$

2. 剪断细线后（乙图）：A 漂浮，浮力等于自身重力 $G_A$；B 沉底，浮力仍为 $F_{\text{浮}B} = \rho g V$（因为完全浸没，$V_{\text{排}} = V$）。
   此时总浮力：

   $$F_{\text{浮总}}' = G_A + \rho g V$$

3. 浮力变化量：

   $$\Delta F_{\text{浮}} = F_{\text{浮总}} - F_{\text{浮总}}' = (G_A + G) - (G_A + \rho g V) = G - \rho g V$$

4. 水对容器底的压力变化：对于柱形容器，水对容器底的压力变化量等于浮力变化量（因为浮力的反作用力作用于水，改变容器底所受压力🌟）。因此：

   $$\Delta F_{\text{压}} = \Delta F_{\text{浮}} = G - \rho g V$$

5. 水对杯底的压强变化：
   

   $$\Delta p = \frac{\Delta F_{\text{压}}}{S} = \frac{G - \rho g V}{S}$$

结论：选项 C 正确。

**选项 D **：$p_B = \dfrac{G - \rho g V}{S}$ (错误❌)

1. 乙图中 B 物体受力分析：

   • 竖直向下的重力 $G$
   • 竖直向上的浮力 $F_{\text{浮}B} = \rho g V$
   • 容器底对 B 的支持力 $F_{\text{支}}$

   静止时满足：

   $$G = F_{\text{浮}B} + F_{\text{支}} \quad \Rightarrow \quad F_{\text{支}} = G - \rho g V$$

2. 根据相互作用力，B 对容器底的压力 $F_N$ 等于 $F_{\text{支}}$，即：

   $$F_N = G - \rho g V$$

3. B 对容器底的压强：需用 B 的实际底面积 $S_B$ 计算，而不是烧杯底面积 $S$：

   $$p_B = \frac{F_N}{S_B} = \frac{G - \rho g V}{S_B}$$

   题目未给出 $S_B$，且选项中分母写作 $S$，故表达式错误。

结论：选项 D 错误。（T#T)

题2：漂浮悬浮模型(变式1)

如图所示，甲、乙两个相同的烧杯中装有密度相同的液体。将两个物体 A、B 分别放入甲、乙两杯液体中。静止时，物体 A 在甲杯液体中处于沉底状态，物体 B 在乙杯液体中处于漂浮状态，两杯中的液体液面高度均为 $h$。已知：

• A、B 的质量分别为 $m_A$、$m_B$；
• A、B 的体积分别为 $V_A$、$V_B$；
• A、B 受到的浮力分别为 $F_A$、$F_B$。

下列判断中正确的是（　）

• A. 若 $V_A < V_B$，则一定有 $m_A < m_B$
• B. 若 $m_A < m_B$，则一定有 $F_A < F_B$
• C. 甲杯中液体对容器底的压力大于乙杯中液体对容器底的压力
• D. 甲杯对桌面的压强小于乙杯对桌面的压强

【解答】

先梳理已知条件

1. 两杯液体：密度 $\rho_{\text{液}}$ 相同；液面高度均为 $h$；烧杯完全相同。
2. 物体 A（甲杯，沉底）：
   • 受力特点：$F_A < G_A = m_A g$
   • 全部浸没：$V_{\text{排}A} = V_A$
   • 浮力：$F_A = \rho_{\text{液}} g V_A$
3. 物体 B（乙杯，漂浮）：
   • 受力特点：$F_B = G_B = m_B g$
   • 排开液体体积：$V_{\text{排}B} < V_B$
   • 浮力：$F_B = \rho_{\text{液}} g V_{\text{排}B} = m_B g$

逐项分析

选项 A：若 $V_A < V_B$，则一定有 $m_A < m_B$ ❌

• $F_A = \rho_{\text{液}} g V_A$，$F_B = m_B g$
• $V_A < V_B$ 只能推出 $F_A < \rho_{\text{液}} g V_B$，但不能直接比较质量。
• 沉底时 $m_A g > F_A$，漂浮时 $m_B g = F_B$，且 $F_B = \rho_{\text{液}} g V_{\text{排}B}$，$V_{\text{排}B} < V_B$。
• 举例：取 $\rho_{\text{液}} = 1\ \mathrm{g/cm^3}$，$V_A = 8\ \mathrm{cm^3}$，$m_A = 12\ \mathrm{g}$（A 密度大沉底）；$V_B = 10\ \mathrm{cm^3}$，$m_B = 7\ \mathrm{g}$（B 密度小漂浮）。此时 $V_A < V_B$ 但 $m_A > m_B$。
• 结论：A 错误。

选项 B：若 $m_A < m_B$，则一定有 $F_A < F_B$ ✅

• 推导：$F_B = G_B = m_B g$；$F_A < G_A = m_A g$
• 已知 $m_A < m_B$，则 $F_A < m_A g < m_B g = F_B$
• 所以 $F_A < F_B$ 恒成立。
• 结论：B 正确。

选项 C：甲杯中液体对容器底的压力大于乙杯中液体对容器底的压力 ❌

• 液体压强：$p = \rho_{\text{液}} g h$，两杯 $\rho_{\text{液}}$、$h$ 均相同 → 液体底部压强相等。
• 烧杯底面积 $S$ 相同，压力 $F = pS$，因此两杯液体对容器底的压力相等。
• 结论：C 错误。

选项 D：甲杯对桌面的压强小于乙杯对桌面的压强 ❌

• 研究对象：“烧杯 + 杯中液体 + 物体” 这个整体。
• 水平桌面上，杯对桌面压力 = 杯重力 + 液体重力 + 物体重力。 因为两杯底面积相同，压力大则压强大。
• 杯子静止在桌面上，根据受力平衡，桌面受到的压力等于整体的总重力，总压力比较： $$F_{\text{甲总}} = G_{\text{杯}} + G_{\text{液甲}} + G_A$$ $$F_{\text{乙总}} = G_{\text{杯}} + G_{\text{液乙}} + G_B$$
• 两杯液面等高、底面积相同，因此 液体体积 与 物体排开液体体积 之和相等： $$V_{\text{液甲}} + V_A = V_{\text{液乙}} + V_{\text{排}B}$$
• 对物体A进行受力分析，甲杯中 A 沉底，杯底给它一个向上的支持力 $N$，所以：

乙杯中 B 漂浮：$$G_B = F_B = \rho g V_{\text{排}B}$$

• 代入总压力表达式做差 $$\begin{aligned} F_{\text{甲}} - F_{\text{乙}} &= (G_{\text{液甲}} + G_A) - (G_{\text{液乙}} + G_B) \\ &= (\rho g V_{\text{液甲}} + \rho g V_A + N) - (\rho g V_{\text{液乙}} + \rho g V_{\text{排}B}) \\ &= \rho g (V_{\text{液甲}} + V_A - V_{\text{液乙}} - V_{\text{排}B}) + N \\ &= \rho g \times 0 + N \\ &= N > 0 \end{aligned}$$
• $F_{\text{甲}} - F_{\text{乙}} = N > 0$，所以 $\boldsymbol{F_{\text{甲}} > F_{\text{乙}}}$。
• 底面积 $S$ 相同，故 $p_{\text{甲}} > p_{\text{乙}}$。
• 结论：D 错误。

最终答案：B

题3：漂浮悬浮模型(变式2)

如图甲所示，底面积为 $S_0$ 的柱形容器内盛有密度为 $\rho_0$ 的液体，木块用轻质细线固定在容器底部且浸没，此时细线对木块的拉力为 $T$。将细线剪断，木块最终漂浮且露出水面的体积为$\dfrac{2}{5}V_{\text{木}}$ ______，如图乙所示。下列说法正确的是（　）（多选）

• A. 木块的体积为 $\dfrac{5T}{2\rho_0 g}$
• B. 木块所受的重力为 $\dfrac{3}{2}T$
• C. 乙图中容器对桌面的压力小于甲图
• D. 甲、乙两图中，甲中液体对容器底部的压强大于乙

【解答】

先梳理已知条件

状态甲：木块被细线拉着，完全浸没

• 木块受到三个力：竖直向下的重力 $G$、竖直向下的拉力 $T$、竖直向上的浮力 $F_{\text{浮甲}}$。
• 木块静止，受力平衡：$F_{\text{浮甲}} = G + T$
• 因为完全浸没，$F_{\text{浮甲}} = \rho_0 g V_{\text{木}}$
• 所以：$\rho_0 g V_{\text{木}} = G + T$　……①

状态乙：剪断细线，木块漂浮

• 木块受到两个力：竖直向下的重力 $G$、竖直向上的浮力 $F_{\text{浮乙}}$。
• 木块漂浮，受力平衡：$F_{\text{浮乙}} = G$
• 设木块露出水面的体积为 $V_{\text{露}}$，则排开液体的体积为 $V_{\text{木}} - V_{\text{露}}$。
• 所以：$\rho_0 g (V_{\text{木}} - V_{\text{露}}) = G$　……②

逐项分析选项

选项A. 木块的体积为 $\dfrac{5T}{2\rho_0 g}$ ✅

联立①式和②式求解。将②式代入①式：

化简得：

题目已知木块最终“露出水面的体积为 $\frac{2}{5}V_{\text{木}}$”，即 $V_{\text{露}} = \frac{2}{5}V_{\text{木}}$。代入得：

所以 A 选项正确。

选项B. 木块所受的重力为 $\dfrac{3}{2}T$ ✅

木块漂浮时，$G = F_{\text{浮乙}} = \rho_0 g (V_{\text{木}} - V_{\text{露}})$。

因为 $V_{\text{露}} = \frac{2}{5}V_{\text{木}}$，所以 $V_{\text{木}} - V_{\text{露}} = \frac{3}{5}V_{\text{木}}$。

将 A 中求出的 $V_{\text{木}} = \dfrac{5T}{2\rho_0 g}$ 代入：

所以 B 选项正确。

选项C. 乙图中容器对桌面的压力小于甲图 ❌

容器对桌面的压力等于总重力，即 $F = G_{\text{容器}} + G_{\text{液体}} + G_{\text{木块}}$。

• 剪断细线前后，容器、液体和木块的总重力都没有发生任何变化。
• 因此，乙图中容器对桌面的压力等于甲图，而不是小于。

所以 C 选项错误。

选项D. 甲、乙两图中，甲中液体对容器底部的压强大于乙

液体对容器底部的压强 $p = \rho_0 g h$，其中 $h$ 是液面高度。

• 甲图中，木块完全浸没，排开液体的体积为 $V_{\text{木}}$。
• 乙图中，木块漂浮，排开液体的体积为 $\frac{3}{5}V_{\text{木}}$。
• 乙图排开液体的体积更小，故液面高度 $h$ 更低。
• 液面越低，液体对容器底部的压强越小，即甲图中的压强大于乙图。

所以 D 选项正确。

最终答案：A、B、D。

题4：漂浮悬浮模型(变式3)

如图甲所示，将边长都为 $10\ \mathrm{cm}$ 的正方体物块 A 和 B 用细线（质量忽略不计）连接在一起，放在水中，A 和 B 恰好悬浮在水中某一位置，此时容器中水的深度为 $40\ \mathrm{cm}$，B 下表面距容器底 $6\ \mathrm{cm}$。

当把细线轻轻剪断后，物块 A 上升，物块 B 下沉，最后 A 漂浮在水面上静止，且 A 露出水面的体积是它自身体积的 $\dfrac{2}{5}$，B 沉到容器底后静止（物块 B 与容器底不会紧密接触），如图乙所示。（A 和 B 都不吸水，$\rho_{\text{水}} = 1.0 \times 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，$g$ 取 $10\ \mathrm{N/kg}$）

求：

1. 甲图中物块 B 下表面受到水的压强；
2. 物块 A 的重力；
3. 图乙中物块 B 对容器底部的压强。

【解答】

先梳理已知条件 题目中已知 A 和 B 的边长都是 $10\ \mathrm{cm}$，所以它们的体积 $V$ 都是：

第一问：甲图中物块 B 下表面受到水的压强

在甲图中，已知容器中水的深度为 $40\ \mathrm{cm}$，B 下表面距容器底 $6\ \mathrm{cm}$。因此，B 下表面到水面的深度 $h$ 为：

根据液体压强公式 $p = \rho g h$，B 下表面受到水的压强为：

所以，甲图中物块 B 下表面受到水的压强为 $3.4 \times 10^3\ \mathrm{Pa}$。

第二问：物块 A 的重力

剪断细线后，A 漂浮在水面上，且露出水面的体积是自身体积的 $\dfrac{2}{5}$。 这说明 A 排开水的体积 $V_{\text{排}A}$ 是：

A 漂浮时，重力等于浮力：

代入数值：

所以，物块 A 的重力为 $6\ \mathrm{N}$。

第三问：图乙中物块 B 对容器底部的压强

首先，我们需要分析剪断细线前，A 和 B 作为一个整体悬浮时的受力情况。 在甲图中，A 和 B 整体悬浮，所以总浮力等于总重力：

A 和 B 都完全浸没，所以它们受到的浮力分别为：

• $F_{\text{浮}A} = \rho_{\text{水}} g V = 1.0 \times 10^3 \times 10 \times 1 \times 10^{-3} = 10\ \mathrm{N}$
• $F_{\text{浮}B} = \rho_{\text{水}} g V = 10\ \mathrm{N}$

我们已经求出 $G_A = 6\ \mathrm{N}$，代入上式：

解得：

在乙图中，B 沉到容器底部静止，对 B 进行受力分析。它受到三个力：

1. 竖直向下的重力 $G_B = 14\ \mathrm{N}$
2. 竖直向上的浮力 $F_{\text{浮}B} = 10\ \mathrm{N}$（因为 B 仍完全浸没）
3. 竖直向上的容器底部的支持力 $F_{\text{支}}$

B 静止，受力平衡：

B 对容器底部的压力 $F_{\text{压}}$ 与容器底对 B 的支持力 $F_{\text{支}}$ 是一对相互作用力，大小相等，所以：

B 是边长为 $10\ \mathrm{cm}$ 的正方体，其底面积 $S$ 为：

根据压强公式 $p = \dfrac{F}{S}$，B 对容器底部的压强为：

所以，图乙中物块 B 对容器底部的压强为 $400\ \mathrm{Pa}$。

最终答案

1. 甲图中物块 B 下表面受到水的压强：$3.4 \times 10^3\ \mathrm{Pa}$
2. 物块 A 的重力：$6\ \mathrm{N}$
3. 图乙中物块 B 对容器底部的压强：$400\ \mathrm{Pa}$。

题5：注液排液模型

一个小船漂浮在圆柱体水池中（初始状态）。现将体积相等、质量不同的小球 A、B 放入小船中，小船仍处于漂浮状态，水面相对于初始状态上升了 6 cm（水未溢出）; 再将小球 A、B 投入水池中后如图所示，水面相对于初始状态上升了 1 cm。在 A、B 球质量差最大时，若只把质量大的小球放入小船中，水面相对于初始状态上升的高度是 ______ cm。

【解答】

核心思路：用“排开液体体积的变化”建立方程

设圆柱体水池底面积为 $S$，每个小球体积为 $V$，水的密度为 $\rho$。

1. 初始状态（空船漂浮） 设船自身排开水的体积为 $V_{\text{船}}$（恒定，因为船重不变）。

2. 放入两球入船（仍漂浮） 水面上升 $6\ \text{cm}$，这是因为船新增的排水体积等于两球的总重力对应的水体积：

   $$S \times 6 = \frac{m_A + m_B}{\rho} \quad \text{……(1)}$$

3. 将两球投入水中（船恢复空载） 水面上升 $1\ \text{cm}$，完全由 A、B 两球在水中排开的体积贡献：

   $$S \times 1 = V_{\text{排}A} + V_{\text{排}B} \quad \text{……(2)}$$

   其中 $V_{\text{排}i}$ 取决于该球的状态：

• 沉底：$V_{\text{排}i} = V$
• 漂浮：$V_{\text{排}i} = \dfrac{m_i}{\rho}$（且 $m_i < \rho V$）
• 悬浮：$V_{\text{排}i} = V$（$m_i = \rho V$，临界状态）

分析“质量差最大”的条件

我们需要在满足 (1)(2) 以及浮沉约束的前提下，最大化 $|m_A - m_B|$。

由 (1) 知：$m_A + m_B = 6\rho S$ —— 总和固定。
由 (2) 知：$V_{\text{排}A} + V_{\text{排}B} = S$ —— 且每个 $V_{\text{排}i} \le V$，所以 $S \le 2V$。

要令质量差最大，应让其中一个质量尽量大（沉底，排水 $V$），另一个尽量小（漂浮，排水尽量少，但受 (2) 约束）。

情况一：两球都沉底

• 则 $V_{\text{排}A} = V_{\text{排}B} = V$，由 (2) 得 $S = 2V$。
• 由 (1) 得 $m_A + m_B = 12\rho V$。
• 最小可能质量：$\rho V$（刚能沉底或悬浮的临界），最大质量：$11\rho V$。
• 质量差最大：$10\rho V$，大球质量 $m_{\text{大}} = 11\rho V$。

情况二：一沉一浮

• 设 A 沉底（$V_{\text{排}A} = V$），B 漂浮（$V_{\text{排}B} = m_B/\rho$）。
• 由 (2) 得：$S = V + \dfrac{m_B}{\rho}$，即 $m_B = \rho(S - V)$。
• 由 (1) 得：$m_A = 6\rho S - m_B = \rho(5S + V)$。
• 质量差：$\Delta = m_A - m_B = \rho(4S + 2V) = 2\rho(2S + V)$。
• B 漂浮要求 $m_B < \rho V \Rightarrow S - V < V \Rightarrow S < 2V$。
• 在 $S < 2V$ 条件下，$\Delta$ 随 $S$ 增大而增大，当 $S$ 趋近于 $2V$ 时，$\Delta$ 趋近于 $10\rho V$（但取不到，因为此时 $m_B = \rho V$，B 刚好悬浮而非漂浮）。

情况三：两球都漂浮

• 则 $V_{\text{排}A} + V_{\text{排}B} = \dfrac{m_A + m_B}{\rho} = 6S$，但 (2) 要求等于 $S$，得 $S = 0$，不可能。

结论：质量差的最大值在 临界状态 取得，即 $S = 2V$，此时两个球或都沉底，或一个沉底一个悬浮（临界）。无论如何，质量大的球质量 $m_{\text{大}} = 11\rho V$。

求“只放大球入船”的水面上升高度

将大球单独放入小船，船仍漂浮。新增排水体积等于大球重力对应的水体积：

最终答案仍为 $5.5\ \text{cm}$

题6：注液排液模型(变式1)

如图所示，薄壁圆柱形容器 $A$ 放在水平桌面上，质量 $m_A = 300\ \mathrm{g}$，高度 $h_A = 20\ \mathrm{cm}$，底面积 $S_A = 100\ \mathrm{cm}^2$。容器 $A$ 内装有 $0.6\ \mathrm{kg}$ 的水。

现有均匀实心圆柱体 $B$ 和 $C$：

• $B$ 的密度 $\rho_B = 0.6\ \mathrm{g/cm}^3$，高度 $h_B = 10\ \mathrm{cm}$；
• $C$ 的质量 $m_C = 500\ \mathrm{g}$，体积 $V_C = 480\ \mathrm{cm}^3$，高度 $h_C = 6\ \mathrm{cm}$。

已知 $\rho_{\text{水}} = 1.0 \times 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，$g = 10\ \mathrm{N/kg}$。忽略实心圆柱体吸水、容器壁厚度、液体附着等次要因素。

1. 求容器 $A$ 对水平桌面的压强。
2. 若将圆柱体 $B$ 竖直压入容器 $A$ 的底部，再向上提升，直到圆柱体 $B$ 的底部距离容器底部为 $3\ \mathrm{cm}$，在此过程中，没有水从容器中溢出，且水对容器底部的压力变化了 $1\ \mathrm{N}$，求圆柱体 $B$ 的底面积。
3. 若把 $C$ 放在 $B$ 上，把它们一起缓慢放入容器中，再沿着容器壁缓慢加入 $0.5\ \mathrm{kg}$ 的水，平衡时 $C$ 与 $B$ 始终不倾倒，且接触面水平，求此时液体对容器底部的压力。

【解答】

第1问：容器 $A$ 对水平桌面的压强

容器内只有水，总重力：

底面积 $S_A = 100\ \mathrm{cm}^2 = 1 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}^2$，压强：

第2问：求圆柱体 $B$ 的底面积

考点： 浮力变化量 ↔ 液面变化量。

水对容器底部的压力变化量 $\Delta F = 1\ \mathrm{N}$，对于柱形容器有：

关键几何关系：

• $B$ 被向上提了 $3\ \mathrm{cm}$，同时水面下降了 $1\ \mathrm{cm}$。
• 因此 $B$ 相对于水面上升了 $3 + 1 = 4\ \mathrm{cm}$。

排开液体体积减少量：

解得：

答案： $S_B = 25\ \mathrm{cm}^2$

第3问：加 0.5 kg 水后液体对容器底部的压力

考点： 漂浮整体法 + 液面高度公式。

把 $B$ 和 $C$ 看成一个连接体（$C$ 放在 $B$ 上，一起放入水中）。

整体密度 = 总质量 ÷ 总体积。

可见，整体密度小于水 → 整体一定会漂浮（不会沉底）。

$B$、$C$ 整体漂浮，总重力：

所需排开水的体积：

容器中水的总体积（原有 $600\ \mathrm{cm}^3$ 加上加入的 $0.5\ \mathrm{kg}$ 水，即 $500\ \mathrm{cm}^3$）：

液面高度：

液体对容器底部的压力：

答案： $F = 17.5\ \mathrm{N}$

答案汇总

1. 容器 $A$ 对水平桌面的压强：$\boldsymbol{900\ \mathrm{Pa}}$
2. 圆柱体 $B$ 的底面积：$\boldsymbol{25\ \mathrm{cm}^2}$
3. 液体对容器底部的压力：$\boldsymbol{17.5\ \mathrm{N}}$

题7：注液排液模型(变式2)

好的，我将为您优化该题目的文字格式，使其更清晰、规范，方便用于笔记或文档：

【变式2-2】（2023·云南保山·二模）

小红用传感器设计了如图甲所示的力学装置：竖直细杆B的下端通过力传感器固定在柱形容器的底部，上端与不吸水的实心正方体A固定（不计细杆B及连接处的质量和体积）。现缓慢地向容器中加水，力传感器的示数大小 $F$ 随水深 $h$ 变化的图像如图乙所示。已知 $\rho_{\text{水}} = 1.0 \times 10^{3}\ \mathrm{kg/m^{3}}$。求：

1. 正方体A所受重力大小；
2. 当容器内水的深度为 $13\ \mathrm{cm}$ 时，正方体A受到的浮力大小；
3. 当容器内水的深度为 $8\ \mathrm{cm}$ 时，力传感器的示数大小为 $F$。继续向容器中加水，当力传感器的示数大小变为 $0.5F$ 时，水对容器底部的压强是多少？

【解答】

图像分段物理意义梳理：

1. 水深 $0 \sim 3\ \mathrm{cm}$ 时：传感器示数恒为 $6\ \mathrm{N}$，说明水尚未接触物体底部，物体不受浮力（$F_{\text{浮}} = 0$），此时传感器示数等于物体重力。 可得：$G = 6\ \mathrm{N}$。
2. 水深 $3\ \mathrm{cm} \sim 6\ \mathrm{cm}$：A逐渐浸入水中，所受浮力逐渐增大，细杆对传感器向下的压力不断减小。
3. $h = 6\ \mathrm{cm}$ 时：力传感器的示数 $F = 0$，此时浮力恰好等于正方体A的重力，即 $F_{\text{浮}} = G_A$。
4. 水深 $6\ \mathrm{cm} \sim 13\ \mathrm{cm}$ 时：继续加水，浮力大于重力，细杆被向上拉伸，传感器受到拉力，且拉力逐渐增大。
5. $h = 13\ \mathrm{cm}$ 时：拉力大小达到 $4\ \mathrm{N}$。

问题1 水深 $0 \sim 3\ \mathrm{cm}$ 时**：物体未接触水，不受浮力，传感器示数等于物体重力，即 $\boldsymbol{G_A = 6\ \mathrm{N}}$。

问题2：

• $h = 13\ \mathrm{cm}$，正方体完全浸没，杆向上拉传感器，拉力大小 $4\ \mathrm{N}$
• 受力关系：$F_{\text{浮}} = G_A + F_{\text{拉}}$
• $F_{\text{浮}} = 6\ \mathrm{N} + 4\ \mathrm{N} = \boldsymbol{10\ \mathrm{N}}$

问题3： 第一步：确定 $h=8\ \mathrm{cm}$ 时的示数 $F$

• 物体底部在 $3\ \mathrm{cm}$ 处，$h=8\ \mathrm{cm}$ 时浸没深度为 $5\ \mathrm{cm}$。
• 由 $h=13\ \mathrm{cm}$（浸没 $10\ \mathrm{cm}$）时浮力为 $6+4=10\ \mathrm{N}$，可得浮力斜率恒为 $1\ \mathrm{N/cm}$。
• 所以 $h=8\ \mathrm{cm}$ 时浮力 $F_{\text{浮}}=5\ \mathrm{N}$。
• 因 $5\ \mathrm{N}<6\ \mathrm{N}$，杆提供支持力，传感器示数： $$F=G-F_{\text{浮}}=6-5=1\ \mathrm{N}$$故： $$0.5F=0.5\ \mathrm{N}$$

第二步：第一次达到 $0.5\ \mathrm{N}$ 时的水深

继续加水，示数从 $1\ \mathrm{N}$ 减小，仍处于压力（支持力）阶段。

此时浮力：

对应的浸没深度（斜率 $1\ \mathrm{N/cm}$）：

容器中水深：

第三步：水对容器底的压强

最终答案 $\boxed{850\ \mathrm{Pa}}$

题8：注液排液模型(变式3)

如图所示，小明在实验室整理器材时发现一块长方体物块，经过测量该物块的高为 $8h$，底面积为 $S$。他根据已经学习过的密度知识测量出此物块的密度为 $0.5 \rho_{0}$，并把它放在一个水槽中进行如下的操作。请根据要求回答问题（已知水的密度为 $\rho_{0}$）。

1. 没加水时，圆柱体对容器底的压强；
2. 向容器内加水，当水加到 $3h$ 深时，求容器底对圆柱体的支持力大小；
3. 继续向容器中加水，当水深为 $6h$ 时，求圆柱体竖直静止时，圆柱体浸入水中的深度 $h_0$。

【解答】 （1）没加水时，物块对容器底的压强 物块重力：

对容器底压强（压力等于重力）：

（2）水深为 $3h$ 时，容器底对物块的支持力 水深 $3h$ 时，物块排开水的体积：

物块所受浮力：

物块重力：

因为 $F_{\text{浮}} < G$，物块仍沉在底部，由平衡条件：

（3）水深为 $6h$ 时，物块浸入水中的深度 $h_0$

物块重力：

若物块刚好漂浮（浮力等于重力），所需排开水的体积：

对应的浸入深度：

判断物块状态：水深为 $6h$，而物块高为 $8h$，水深足够（$6h > 4h$），物块可以漂浮。

当物块漂浮时，浮力等于重力，因此浸入深度即为 $4h$。此时物块露出水面的高度为 $8h - 4h = 4h$，水深 $6h$ 足够容纳这 $4h$ 的露出部分，故状态成立。

题9：出液入液模型

如图所示容器内放有一长方体木块M，上面压有一铁块m，木块浮出水面的高度为 $h_{1}$ （图a）；用细绳将该铁块系在木块的下面，木块浮出水面的高度为 $h_{2}$ （图b）；将细绳剪断后（图c），则木块浮出水面的高度 $h_{3}$ 为（　）

• A. $h_1 + \dfrac{\rho_{\text{铁}}(h_2 - h_1)}{\rho_{\text{水}}}$
• B. $h_2 + \dfrac{\rho_{\text{铁}}(h_2 - h_1)}{\rho_{\text{水}}}$
• C. $h_1 + \dfrac{\rho_{\text{木}}(h_2 - h_1)}{\rho_{\text{水}}}$
• D. $h_2 + \dfrac{\rho_{\text{铁}}(h_2 - h_1)}{\rho_{\text{木}}}$

【解答】

1.考查要点

本题考察浮力平衡与受力分析的综合应用，关键在于理解木块在不同状态下浮出水面的高度变化与铁块排开液体体积的关系。根据阿基米德原理，浮力等于排开液体的重力，通过分析图a、b、c中铁块位置变化对木块浸入体积的影响，可推导出最终高度 $h_3$ 的表达式为 A选项：$h_1 + \dfrac{\rho_{\text{铁}}(h_2 - h_1)}{\rho_{\text{水}}}$。

2. 受力分析与浮力平衡

设木块底面积为 $S$，木块总高度为 $H$。

1. 图a状态：铁块压在木块上，系统总重力由木块排开水的体积平衡。
   此时排开水的体积为 $V_1 = S(H - h_1)$，其中 $H$ 为木块总高度。

2. 图b状态：铁块悬挂在木块下方，铁块浸入水中增加排水体积。
   此时木块排开水的体积为 $V_2 = S(H - h_2)$，铁块排开水的体积为 $V_{\text{铁}} = \dfrac{m_{\text{铁}}}{\rho_{\text{水}}}$。

3. 图c状态：剪断细绳后，铁块沉底，仅木块漂浮。
   木块排开水的体积需单独平衡其重力，即 $V_3 = S(H - h_3)$。

3.选项解析

• A选项：正确。通过联立受力平衡方程可得
  

  $$h_3 = h_1 + \frac{\rho_{\text{铁}}}{\rho_{\text{水}}}(h_2 - h_1)$$

  
  反映铁块密度与高度差的线性关系。

• B选项：错误。错误地将 $h_2$ 作为基准，未考虑铁块沉底后对木块浮力的独立影响。

• C选项：错误。误用木块密度 $\rho_{\text{木}}$ 替代铁块密度 $\rho_{\text{铁}}$，违背质量守恒原理。

• D选项：错误。分母错误使用 $\rho_{\text{木}}$ 而非 $\rho_{\text{水}}$，导致物理量纲不匹配。

题10：出液入液模型(变式1)

如图所示，水平杠杆 MON 保持静止，A、B 是实心柱形物体，它们受到的重力分别是 $G_A = 27\ \mathrm{N}$、$G_B = 8\ \mathrm{N}$，B 的底面积 $S_B = 20\ \mathrm{cm^2}$。柱形容器中装有水，此时水的深度 $h_1 = 10\ \mathrm{cm}$，容器的底面积 $S_{\text{容}} = 180\ \mathrm{cm^2}$，B 物体底面离容器底的距离 $h_0 = 4\ \mathrm{cm}$。已知 $MO : ON = 2 : 5$，$\rho_{\text{水}} = 1.0 \times 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，$g = 10\ \mathrm{N/kg}$。求：

（1）水对容器底的压强和水对 B 物体的浮力； （2）A 物体对水平地面的压力； （3）若打开开关 K 缓慢放水，试讨论，当放出水的质量为 $m$ 时，A 物体对水平地面的压力 $N$ 是多少？（提示：在讨论求解 $N$ 的大小时，$m$ 可作为已知量）

【解答】

（1-1）水对容器底的压强

由液体压强公式 $p = \rho g h$：

答案： $p_{\text{水}} = 1000\ \mathrm{Pa}$

（1-2）水对 B 物体的浮力

B 物体排开水的体积等于 B 物体浸没在水中的体积。
已知 B 物体底面离容器底 $h_0 = 4\ \mathrm{cm}$，水深 $h_1 = 10\ \mathrm{cm}$，则 B 物体浸入水中的深度：

B 的底面积 $S_B = 20\ \mathrm{cm^2} = 2.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^2}$，则 B 排开水的体积：

根据阿基米德原理：

答案： $F_{\text{浮}} = 1.2\ \mathrm{N}$

（2）A 物体对水平地面的压力

第一步：分析杠杆 N 端受到的拉力

B 物体受到三个力：重力 $G_B$（向下）、浮力 $F_{\text{浮}}$（向上）、杠杆 N 端对 B 的拉力 $T_N$（向上）。

B 物体静止，受力平衡：

根据牛顿第三定律，B 物体对杠杆 N 端的拉力大小也为 $T_N = 6.8\ \mathrm{N}$，方向向下。

第二步：利用杠杆平衡条件求 M 端受到的拉力

杠杆 MON 保持静止，根据杠杆平衡条件：

已知 $MO : ON = 2 : 5$，即 $MO = \dfrac{2}{5} ON$，代入：